Stochastik für Fußballer

Fußball ist keine Mathematik und der Weihnachtsmann ist nicht der Osterhase. Schade eigentlich, denn die Mathematik könnte Fußballern bei manchen Entscheidungen durchaus helfen.

In der Bundesliga werden ca. 75% aller Elfmeter verwandelt. Ungeachtet der unterschiedlichen Qualitäten verschiedener Schützen können wir also der Einfachheit halber davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit einen Elfmeter zu verwandeln bei 75% liegt. Die Wahrscheinlichkeit zwei Elfmeter hintereinander zu verwandeln, liegt somit bei ca. 56%. Nun kommen Spieler nicht oft in die Verlegenheit, zwei Elfmeter direkt hintereinander schießen zu müssen. Der Grund dafür ist meistens, dass der Schiedsrichter den Elfmeter wiederholen lässt, weil ein Mitspieler zu früh in den Strafraum gelaufen ist. Also: Zu frühes in den Strafraum laufen senkt die Wahrscheinlichkeit ein Elfmetertor zu erzielen von 75% auf 56%.

Trotzdem laufen Spieler häufig früh in den Strafraum, um sich in eine möglichst gute Position für einen eventuellen Abpraller zu bringen. Ziel dabei ist es, die Wahrscheinlichkeit eines Tores von 75% noch zu erhöhen. In 25% aller Fälle trifft der Schütze das Tor nicht. Nun gibt es längst nicht in allen diesen Fällen einen Abpraller, den ein anderer Spieler verwerten kann, doch gehen wir für dieses Beispiel einfach mal davon aus, dass durch das frühe Loslaufen die Hälfte aller nicht verwandelten Elfmeter noch zu einem Tor führen (ein mMn sehr hoch angesetzter Wert). Aufgerundet führten dann 13% aller Elfmeter durch einen Nachschuss zu einem Tor.

Wir haben also für den Fall des zu frühen Loslaufens folgende Möglichkeiten ein Tor zu erzielen: Der Schütze trifft, der Elfmeter wird wiederholt und er trifft auch im zweiten Anlauf (Wahrscheinlichkeit: 56%) oder der Schütze trifft nicht, der Elfmeter wird nicht wiederholt und ein Mitspieler verwandelt den Abpraller (Wahrscheinlichkeit: 13%). Die Torwahrscheinlichkeit beträgt insgesamt also 69%. Es zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit ein Tor zu erzielen durch zu frühes Loslaufen um 6 Prozentpunkte sinkt. Es wäre für die Spieler also besser, nicht zu früh in den Strafraum zu laufen. Mehr noch: Es müssten mindestens drei von vier Abprallern verwandelt werden, um überhaupt ein zu frühes Loslaufen zu rechtfertigen.

Nun könnte man denken, dass das frühe Loslaufen zumindest bei unsicheren Elfmeterschützen trotzdem sinnvoll ist. Das ist auch tatsächlich der Fall, allerdings nur, wenn der Schütze weniger als die Hälfte seiner Elfmeter trifft. Doch in diesem Fall lässt sich durch Elfmetertraining oder einen Wechsel des Elfmeterschützen sicher mehr erreichen.

Die Rechnung ist natürlich sehr allgemein aufgestellt und berücksichtigt nicht alle Faktoren, aber es lassen sich mithilfe empirischer Daten aus 47 Jahren Bundesliga genaue Wahrscheinlichkeiten für beide Fälle ausrechnen. Das mag alles sehr theoretisch klingen, doch am Ende könnte es für den Erfolg einer Mannschaft eben entscheidend sein, einen Elfmeter mehr oder weniger pro Saison zu verwandeln.

Da Fußball aber keine Mathematik ist (und es Schiedsrichter gibt, die auch ohne Grund einen Elfmeter wiederholen lassen, wie der BVB gestern erfahren musste) vergessen wir das Ganze schnell wieder.

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    8 Gedanken zu „Stochastik für Fußballer

    1. Nettes Gedankenspiel, aber leider hat dir die Stochastik ein Bein gestellt. Wenn der Elfmeter wiederholt wird, ist der Ausgang des ersten (ungültigen) Elfmeters nämlich egal. Die Kombination, bei der der erste Elfmeter ein Treffer war, fehlt bei dir in der Rechnung.

      Die Chance, bei einem wiederholten Elfmeter ein gültiges Tor zu erzielen, liegt demnach bei:

      0,75 (erster 11er getroffen) * 0,75 (zweiter 11er getroffen)
      + 0,25 (erster 11er verschossen) * 0,75 (zweiter 11er getroffen)

      Mit anderen Worten, 75%. :)

    2. Da hat dir das Regelwerk ein Bein gestellt: Wenn der erste Elfmeter verschossen wird, gibt es keinen zweiten Elfmeter! Der wird nur wiederholt, wenn ein Tor fällt, es sein denn ein Verteidiger rennt zu früh in den Strafraum.

    3. …und mir hat das Tippen ein Bein gestellt:

      “Die Kombination, bei der der erste Elfmeter KEIN Treffer war, fehlt bei dir in der Rechnung”. KEIN. :P

    4. Ja, es wird immer zu Ungunsten der Mannschaft gepfiffen, die einen Vorteil daraus zieht.

      Andernfalls wäre der gesamte Gedankengang falsch, weil dann ja in jedem Fall wiederholt wird, wenn der Stürmer zu früh in den Strafraum läuft und es nie zu einem Nachschusstor kommt.

    5. Ich bin ja kein Stochastik- und kein Regelexperte, aber ich glaube Deine Rechnung stimmt nicht, weil die Wahrscheinlichkeit, dass der Schiedsrichter das Zufrüheloslaufen auch erkennt, nicht quantifiziert wird. Wenn der Schiedsrichter das zu frühe Loslaufen in 100 Prozent der Fälle abpfeift, kann der (zufrüh losgelaufene) Angreifer nicht den verschossenen Elfer noch verwandeln, da dann das Tor m.E. nicht zählt. Bei einem Schiedsrichter, der zu 100 Prozent den Regelverstoss erkennt, bleibt die Wahrscheinlichkeit 56 %.

    6. @Conti: Das deckt sich doch mit dem, was ich geschrieben habe, bzw. verstärkt den Effekt noch.

      @koerpersprache: Du hast recht, die Fehlerwahrscheinlichkeit des Schiedsrichters habe ich nicht berücksichtigt. Ich weiß auch nicht, ob es dafür Daten gibt (wer sollte die erheben?), aber grundsätzlich müsste das mitberücksichtigt werden.

      Was die Regelauslegung bei Toren durch Nachschüsse angeht, bin ich mir nicht ganz sicher. Kann sogar sein, dass in diesem Fall auch abgepfiffen wird, wenn der Spieler zu früh losgelaufen ist. Aber dann bleiben immer noch die (in meinem Beispiel) 12% der Fälle, in denen der Elfmeter verschossen wird und der Nachschuss nicht ins Tor geht. In diesem Fall gäbe es keine Wiederholung. Es wäre also erst Recht sinnlos, zu früh in den Strafraum zu laufen, weil in keinem Fall ein Tor zählen würde. Die Wahrscheinlichkeit würde sich von 75% (ohne frühes Loslaufen) auf 0,75*0,75+0,13*0,75= 66% (mit frühem Loslaufen) verringern. Der Effekt wäre dann sogar noch größer.

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